बीजगणित (Algebra)

बीजगणित (Algebra) – प्रैक्टिकल प्रश्नोत्तर सेट (हिंदी में) 

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1. बीजगणित की परिभाषा:

बीजगणित गणित की वह शाखा है जिसमें संख्याओं के स्थान पर अक्षरों (जैसे – $x, y, z$) का प्रयोग किया जाता है ताकि हम सामान्य नियमों के अनुसार समीकरण बना सकें और उन्हें हल कर सकें। इससे गणितीय संबंधों को अधिक सामान्य और शक्तिशाली रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

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2. महत्वपूर्ण बीजगणितीय सूत्र:

1. संज्ञेय गुणन सूत्र (Identities):

   • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

   • $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   • $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

2. घन सूत्र:

   • $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

   • $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

3. गुणनखण्ड (Factorization):

   • $x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$

4. समानुपात सूत्र:

   • यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, तो $ad = bc$

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3. व्यावहारिक प्रश्न और उत्तर:

प्रश्न 1: यदि (x + 3)^2 = 49, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

$$(x + 3)^2 = 49 \Rightarrow x + 3 = \pm 7 \Rightarrow x = 7 - 3 = 4 \quad \text{या} \quad x = -7 - 3 = -10$$

उत्तर: $x = 4$ या $-10$

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प्रश्न 2: $a = 3, b = 2$ होने पर $(a + b)^2 - (a - b)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

$$(a + b)^2 = (3 + 2)^2 = 25 (a - b)^2 = (3 - 2)^2 = 1 25 - 1 = 24$$

उत्तर: 24

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प्रश्न 3: $x^2 + 7x + 10$ को गुणनखण्ड में व्यक्त कीजिए।

हल: $x^2 + 7x + 10 = x^2 + 5x + 2x + 10 = x(x + 5) + 2(x + 5) = (x + 2)(x + 5)$

उत्तर: $(x + 2)(x + 5)$

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प्रश्न 4: यदि $a^2 + b^2 = 25$ और $ab = 12$, तो $(a + b)^2$ का मान क्या होगा?

हल:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 25 + 2(12) = 25 + 24 = 49 \Rightarrow a + b = \pm 7$$

उत्तर: $a + b = \pm 7$

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प्रश्न 5: दो संख्याओं का योग 10 है और उनका गुणनफल 21 है। संख्याओं को ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए एक संख्या $x$ है
तो दूसरी संख्या $10 - x$

$$x(10 - x) = 21 \Rightarrow 10x - x^2 = 21 \Rightarrow x^2 - 10x + 21 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x - 7) = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ या } 7$$

उत्तर: संख्याएँ हैं 3 और 7

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प्रश्न 6: $x^2 - 5x + 6 = 0$ का हल कीजिए।

हल:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ या } x = 3$$

उत्तर: $x = 2$, $x = 3$

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प्रश्न 7: यदि $x + \frac{1}{x} = 5$, तो $x^2 + \frac{1}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

$$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \Rightarrow 25 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$$

उत्तर: 23

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प्रश्न 8: एक बहुपद है $3x^2 + 11x + 6$, इसे गुणनखण्ड में विभाजित कीजिए।

हल:

$$3x^2 + 11x + 6 = 3x^2 + 9x + 2x + 6 = 3x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(3x + 2)$$

उत्तर: $(x + 3)(3x + 2)$

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प्रश्न 9: $(2a - 3)^2$ का विस्तार कीजिए।

हल:

$$(2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$$

उत्तर: $4a^2 - 12a + 9$

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(जारी है...)

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यदि आप चाहें तो मैं इसका अगला भाग – प्रश्न 10 से लेकर निष्कर्ष तक – अभी जोड़ सकता हूँ।
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बहुत बढ़िया! चलिए अब हम बीजगणित के अगले प्रश्नों, अभ्यास प्रश्न, और अंत में निष्कर्ष की ओर बढ़ते हैं।

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प्रश्न 10: यदि $x - \frac{1}{x} = 4$, तो $x^2 + \frac{1}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

$$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \Rightarrow 16 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$$

उत्तर: 18

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प्रश्न 11: यदि $x + y = 10$ और $xy = 21$, तो $x^2 + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

$$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 100 - 42 = 58$$

उत्तर: 58

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प्रश्न 12: $(a + b + c)^2$ का विस्तार कीजिए।

हल:

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$$

उत्तर: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

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प्रश्न 13: यदि $x^2 + \frac{1}{x^2} = 97$, तो $x + \frac{1}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल: मान लें $x + \frac{1}{x} = a$
तो $a^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 97 + 2 = 99 \Rightarrow a = \sqrt{99} \approx 9.94$

उत्तर: $x + \frac{1}{x} \approx 9.94$

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प्रश्न 14: एक समीकरण है $x^2 - 2x - 35 = 0$, इसे हल कीजिए।

हल:

$$x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 7, -5$$

उत्तर: $x = 7$ या $-5$

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प्रश्न 15: यदि $x^3 + y^3 = 35$ और $x + y = 5$, तो $xy$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

$$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) 35 = 125 - 15xy \Rightarrow 15xy = 90 \Rightarrow xy = 6$$

उत्तर: 6

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4. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions):

इन प्रश्नों को आप स्वयं हल करें:

1. $x^2 + 6x + 9 = ?$ को गुणनखण्ड में विभाजित कीजिए।

2. यदि $x + \frac{1}{x} = 3$, तो $x^2 + \frac{1}{x^2} = ?$

3. $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = ?$

4. यदि $x + y = 12$, $xy = 32$, तो $x^2 + y^2 = ?$

5. $2x^2 - 7x + 3 = 0$ का मूल ज्ञात कीजिए।

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5. निष्कर्ष (Conclusion):

बीजगणित गणित का अत्यंत महत्वपूर्ण भाग है जो हमें समीकरणों को हल करने, मान ज्ञात करने, तथा समस्याओं का विश्लेषण करने की शक्ति देता है। हमने इस प्रैक्टिकल में देखा कि कैसे बीजगणितीय सूत्रों और विधियों की सहायता से विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को हल किया जा सकता है।

बीजगणित का अभ्यास करने से न केवल परीक्षा में अंक अच्छे आते हैं, बल्कि यह तार्किक सोच और समस्या समाधान क्षमता को भी बढ़ाता है।